１ 單對齒輪的嚙合剛度模型
本文主要考慮在輸入轉速和負載扭矩不變的條件下，輸出齒輪轉角的變化情況。嚙合剛度模型是一個最基本的齒輪副分析模型，只考慮了齒輪副本身的影響因素，忽略了傳動軸的彎曲變形、扭轉變形和軸承的支撐剛度等。齒輪的嚙合剛度分析模型如圖１所示。
其中，θｐ、θｇ分別為驅動齒輪、從動齒輪的扭轉位移；
Ｒｐ、Ｒｇ分別為驅動齒輪、從動齒輪的基圓半徑；Ｔｇ、Ｔｐ分別為負載轉矩和輸入轉矩；Ｊｐ、Ｊｇ分別為驅動齒輪、從動齒輪的轉動慣量；ｋｍ為輪齒的嚙合綜合剛度；ｃｍ為輪齒的嚙合阻尼。
齒輪嚙合剛度模型的建模條件是：驅動輪ｐ勻速轉動，負載扭矩Ｔｇ為恒定負載。假設在嚙合線方向上齒輪的相對位移為ｘ，則ｘ＝Ｒｐθｐ－Ｒｇθｇ。由于齒輪間的嚙合力Ｆｋｍ＝ｃｍｘ ·＋ｋｍｘ，則Ｆｋｍ為：
齒輪副的動力學方程為：
２ 傳動鏈嚙合剛度動力學模型
２．１ 直齒輪系統嚙合剛度動力學模型［１］
在單對齒輪副嚙合剛度分析模型的基礎之上，考慮了傳動軸的扭轉剛度之后就形成了直齒輪子系統的動力學模型，如圖２所示。其中，Ｊ１２、Ｊ１３、Ｊ３３、Ｊ４２分別為各直齒輪的轉動慣量；θ１２、θ１３、θ３３、θ４２分別為各直齒輪的旋轉角；Ｔ１２為輸入端的驅動扭矩；Ｔ４２為輸出端的負載扭矩；ｃｎ為齒輪副的嚙合阻尼；ｋｎ為齒輪副的嚙合剛度；ｋⅢ為Ⅲ軸的扭轉剛度。
直齒輪系統分析模型的前提條件是：輸入齒輪為勻速旋轉運動，輸出負載扭矩為恒定負載。結合式（２）和牛頓力學理論，可以得到如下的微分方程組：
其中：Ｒ１２、Ｒ１３、Ｒ３３、Ｒ４２分別為各直齒輪的基圓半徑。
根據Ｌａｐｌａｃｅ變換對式（３）進行處理，得到關于變量ｓ的多元一次方程組，代入設計數據（數據保密），得出直齒輪子系統動力學模型的轉角傳遞函數Ｇ４２為：
其中：θ１２、θ４２分別是θ１２、θ４２的Ｌａｐｌａｃｅ變換。
其中：ＲＳ、ＲＮ分別為太陽輪和行星輪的基圓半徑。
（２）內齒圈與行星輪在嚙合線方向上的相對位移δＲＮ為：
２．２．２ 齒輪嚙合力的計算
（１）內齒圈與行星輪的嚙合力ＦＲＮ為：
將式（４）～式（８）代入到式（９）、式（１０）中，并轉化成方程組的形式為：
式（１１）中的變量為：ＴＣ，θＳ，θ１，θ２，θ３。由于θ１＝θ２＝θ３，故用θＮ來替代，使之滿足θＮ＝θ１＝θ２＝θ３。將
式（１１）進行Ｌａｐｌａｃｅ變換，代入設計數據（數據保密）求得轉角傳遞函數ＧＣＳ：
其中：θＣ、θＳ分別為θＣ、θＳ的Ｌａｐｌａｃｅ變換形式。
３ 傳動鏈動力學總模型
將前面的直齒輪系統和行星差速器系統的動力學模型進行綜合，用轉角傳遞函數來表示最終的動力學模型。由于這兩個子系統是串聯關系，因此總傳動鏈模型的轉角傳遞函數為：
運用ＭＡＴＬＡＢ軟件對轉角傳遞函數進行單位斜坡響應分析，得到的曲線如圖４、圖５所示。
４ 結論
由圖４、圖５可得出如下結論：①在嚙合剛度影響下的傳動鏈轉角的輸出曲線與輸入曲線之間存在著轉角誤差，這會影響該機床傳動鏈的傳動精度和傳遞的準確性；②轉角誤差響應曲線經過一定的震蕩后期后，穩定為一條水平的直線，這表明嚙合剛度影響下的傳動鏈轉角誤差是一個不隨時間變化的恒定；③齒輪的理論轉角相應曲線的斜率與嚙合剛度模型下的轉角響應曲線斜率基本相同，說明嚙合剛度對傳動鏈的傳動比基本沒有影響。
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