基于剛體動(dòng)力學(xué)的五軸數(shù)控機(jī)床模擬系統(tǒng)研究
2016-8-1 來源：天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 作者：岳剛
把操作者手工編寫或通過軟件自動(dòng)編寫的工件加工程序，翻譯成運(yùn)動(dòng)控制卡可以識(shí)別的刀具路徑軌跡，是數(shù)控系統(tǒng)的主要工作之一。這個(gè)識(shí)別過程實(shí)際上是將工件加工程序中工件坐標(biāo)系中的刀具路徑軌跡經(jīng)過一定的計(jì)算[20]，轉(zhuǎn)變成為機(jī)床坐標(biāo)系中的刀具路徑軌跡。所以必須正確的對(duì)刀具路徑軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)求解計(jì)算才能實(shí)現(xiàn)該過程。五軸數(shù)控機(jī)床通過在三個(gè)線性軸運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)之上增加了兩個(gè)回轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)[21]，其運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性也相應(yīng)的增加，對(duì)于編程人員和機(jī)床操作人員來講，增加了一定的難度。對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行正確的運(yùn)動(dòng)求解，有利于深入掌握它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，最大程度地發(fā)揮其在加工中高效、高精等優(yōu)勢(shì)。
從數(shù)學(xué)的角度講，物體運(yùn)動(dòng)求解的本質(zhì)就是三維圖形的線性變換，其中包括基礎(chǔ)線性變換，諸如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換等。當(dāng)前國內(nèi)外相關(guān)行業(yè)的研發(fā)人員已開始對(duì)適合五軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行分析的通用算法的探究，不過目前針對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)分析大多是在假定機(jī)床所有移動(dòng)軸一一正交等限制條件下進(jìn)行的[22]，并且也沒有考慮機(jī)床本身的制造精度。所以，綜合考慮多因子的五軸數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)分析理論的探究是今后五軸數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)探究最主要的領(lǐng)域之一。
本章在描述了運(yùn)動(dòng)分析時(shí)所必須借助的基礎(chǔ)線性代數(shù)原理，分別例舉了采用三種非常普遍的構(gòu)成形式的五軸數(shù)控機(jī)床在一定的限制條件下的運(yùn)動(dòng)分析算法。因?yàn)闄C(jī)床的制造精度與安裝精度有一定限制，故對(duì)于五軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析還需要結(jié)合機(jī)床自身具有的許多誤差，來修正這些誤差對(duì)工件切削精度的影響。
3.1 運(yùn)動(dòng)分析
在三維空間中，任何物體的運(yùn)動(dòng)方式都可以概括為幾何體的平移、旋轉(zhuǎn)等許多基礎(chǔ)的線性變換[23]。從線性代數(shù)的角度講，這些變換全部可以看做幾何體的幾何變換，因此又把幾何體的線性變換稱為幾何變換，上述的變換能夠通過線性代數(shù)中的矩陣乘法來完成。
3.1.1 平移變換
幾何體在三維空間從一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)沿著任意直線運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的過程叫做平移變換[23]，在整個(gè)變換中不會(huì)使幾何體的外形和尺寸發(fā)生變化。對(duì)應(yīng)的齊次方程為：
假定空間幾何體的起始位置為（x，y，z），在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，幾何體沿著 X、Y、Z 三個(gè)方向各運(yùn)動(dòng)了 u、v、w 個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)結(jié)束后，新的位置為（X、Y、Z），那么該幾何體的位置變換對(duì)應(yīng)的方程為：
3.1.2 旋轉(zhuǎn)變換
所謂旋轉(zhuǎn)變換，就是讓某個(gè)物體繞著 X、Y、Z 三個(gè)軸中的一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度。此時(shí)，可以利用右手螺旋法則來判斷轉(zhuǎn)角的正負(fù)[24][36]。（1）圍繞 X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，X 方向坐標(biāo)不發(fā)生變化，只有 Y、Z 兩個(gè)方向坐標(biāo)發(fā)生變化。對(duì)應(yīng)的方程為：
（2）圍繞 Y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，Y 方向坐標(biāo)不發(fā)生變化，只有 Z、X 兩個(gè)方向坐標(biāo)發(fā)生變化。對(duì)應(yīng)的方程為：
（3）圍繞 Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，Z 方向坐標(biāo)不發(fā)生變化，只有 X、Y 兩個(gè)方向坐標(biāo)發(fā)生變化。對(duì)應(yīng)的方程為：
3.1.2.1 圍繞過（0,0）點(diǎn)的任意直線的旋轉(zhuǎn)變換
直線 OD 是給定三維坐標(biāo)系中過（0,0）點(diǎn)的任意直線，點(diǎn) F 是坐標(biāo)系中任一不在直線OD 上的點(diǎn)，若點(diǎn) F 圍繞直線 OD 轉(zhuǎn)動(dòng)后與 G 點(diǎn)重合，那么相應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換的計(jì)算方法為[25]：
圖3-1 繞過坐標(biāo)原點(diǎn)直線的旋轉(zhuǎn)
（1）令直線 OD圍繞 X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角后與面 XOZ 重合，新的直線成為 OE。這個(gè)變換能夠用式 3-3 來完成。
（2）令直線 OE 圍繞 Y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角 θ 后與 z軸重合，這個(gè)變換能夠用式 3-4 來完成。
（3）使用式 3-5 令點(diǎn) P 圍繞 Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角 α。
（4）運(yùn)算和（2）中互逆，也就是令直線 OE 圍繞 Y 軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角-θ，即使用式 3-4 的互逆矩陣來完成。
（5）運(yùn)算和（1）中互逆，即使用式 3-3 的互逆矩陣來完成。最后能夠獲得圍繞過（0,0）點(diǎn)的任意直線 OD 的旋轉(zhuǎn)矩陣1 1R x y z y xT T T T T T= 。
3.1.2.2 圍繞過其他已知點(diǎn)的任一直線的旋轉(zhuǎn)變換
L 是三維空間中過點(diǎn)的任一直線，它的方向向量是，那么空間幾何體圍繞直線 L 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角的相應(yīng)轉(zhuǎn)換能夠分為如下三步：
圖 3-2 繞過任意點(diǎn) P 直線的旋轉(zhuǎn)變換
（1）通過空間幾何體與直線 L 共同進(jìn)行平移令點(diǎn) P 移動(dòng)到（0,0）點(diǎn)位置，轉(zhuǎn)換矩陣pT為：
（2）在前一個(gè)步驟完成之后，令空間幾何體圍繞 L 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角α ，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換矩陣是RT 。
（3）令空間幾何體與 L 共同進(jìn)行平移變換回到最初坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換矩陣是1PT：
最后，能夠獲得總的轉(zhuǎn)換矩陣：
3.2 常見五軸數(shù)控機(jī)床的構(gòu)造模式
從三維幾何的角度講，每一個(gè)物體都擁有六個(gè)獨(dú)立的自由度[27]。舉個(gè)例子，對(duì)于一個(gè)工件來說，工件的位置是固定的，所以，對(duì)于工件來說，主軸就具備了六個(gè)獨(dú)立的自由度。在加工過程中，主軸上的刀具對(duì)工件進(jìn)行切削，這時(shí)刀具軸線也就是主軸軸線和工件之間的距離受到刀具半徑的限制，因而實(shí)際上只有五個(gè)自由度可用，理論上講實(shí)現(xiàn)五軸聯(lián)動(dòng)就可以完成所有空間復(fù)雜曲面的加工[28]。
五軸數(shù)控機(jī)床通常指擁有五個(gè)以上可聯(lián)動(dòng)軸的數(shù)控機(jī)床[29]，依據(jù)不同的自由度組合方式也就是固定或變相固定哪一個(gè)的自由度，理論上能夠形成成四種不同的組合，依次為：X、Y、Z 三個(gè)軸方向上的自由度和繞任意兩個(gè)軸回轉(zhuǎn)的自由度組合、任意兩個(gè)直線方向自由度和三個(gè)回轉(zhuǎn)自由度組合、一個(gè)直線方向自由度和四個(gè)回轉(zhuǎn)自由度組合、五個(gè)回轉(zhuǎn)自由度。但在實(shí)際使用過程中，需要考慮機(jī)床的綜合性能，特別是加工精度、系統(tǒng)壽命等關(guān)鍵要素，所以，當(dāng)前市場(chǎng)上常見的五軸數(shù)控機(jī)床都普遍采用第一種方式的自由度組合[30]。依據(jù)不同的回轉(zhuǎn)自由度，還能夠?qū)ξ遢S聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行細(xì)分，可以分為三種，分別是：雙旋轉(zhuǎn)主軸頭式、雙回轉(zhuǎn)工作臺(tái)式、一回轉(zhuǎn)工作臺(tái)加一旋轉(zhuǎn)主軸頭式[31]。
（1）雙旋轉(zhuǎn)主軸頭式
雙旋轉(zhuǎn)主軸頭式的五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床示意圖如圖 3-1 所示。從圖中能夠發(fā)現(xiàn)，機(jī)床的兩個(gè)回轉(zhuǎn)自由度全部布置在主軸上，使得刀具能夠前后左右進(jìn)行擺動(dòng)，這樣理論上可以使刀具繞中心點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到任意位姿[32]，對(duì)于此類機(jī)床，其工作臺(tái)無需進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，因此工作臺(tái)的大小不受約束，允許設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)大型機(jī)床。這樣的布置形式的特點(diǎn)在于機(jī)床整體承載性能大大增強(qiáng)[33]，同時(shí)加工空間也基本不受限制，其加工對(duì)象為大型工件，所以大型龍門式五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床普遍的采用這種結(jié)構(gòu)。此類機(jī)床兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸全部集中到了刀具的上部，回轉(zhuǎn)軸部分結(jié)構(gòu)緊湊，加工過程靈活；同時(shí)缺點(diǎn)也很明顯，因?yàn)橹鬏S頭集成的擺動(dòng)機(jī)構(gòu)與傳動(dòng)機(jī)構(gòu)過于復(fù)雜，使得整個(gè)機(jī)床的剛度被大大降低。
（2）一回轉(zhuǎn)工作臺(tái)加一旋轉(zhuǎn)主軸頭式
這種類型的機(jī)床通過在機(jī)床的主軸頭上面加一個(gè)回轉(zhuǎn)自由度，另外一個(gè)回轉(zhuǎn)自由度加在工作臺(tái)上，主要通過加載在主軸和工作臺(tái)上的兩個(gè)方向的回轉(zhuǎn)自由度，這樣布置的好處就是兩個(gè)回轉(zhuǎn)軸的軸線方向都是固定不變的[33]，其示意圖如圖3-2 所示。這種結(jié)構(gòu)的五軸機(jī)床，因?yàn)閮蓚€(gè)方向的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)并未集中在一起，所以采用這類布置方式的五軸數(shù)控機(jī)床優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、整體剛性好，缺點(diǎn)是靈活性不好。由于只有一個(gè)回轉(zhuǎn)自由度在工作臺(tái)上，導(dǎo)致整個(gè)機(jī)床的承載性能差，并且只能承擔(dān)的尺寸相對(duì)較小的加工任務(wù)，通常用來進(jìn)行中等尺寸工件的切削。
圖3 -1雙旋轉(zhuǎn)主軸頭結(jié)構(gòu)五軸機(jī)床 圖3 - 2一擺動(dòng)頭和一回轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)五軸機(jī)床
（3）雙回轉(zhuǎn)工作臺(tái)式
這種類型的五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床（圖3-3）是由工作臺(tái)承擔(dān)兩個(gè)回轉(zhuǎn)自由度的，因?yàn)橹鬏S和工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，所以不論旋轉(zhuǎn)自由度布置在主軸上還是布置在工作臺(tái)上，都能達(dá)到同樣的加工效果從傳動(dòng)鏈的先后順序能夠知道，采用這種布置方式的機(jī)床的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸有一個(gè)是定軸另一個(gè)是動(dòng)軸。定軸就是指遠(yuǎn)離工件的只具備一個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度的軸[34]，這個(gè)軸圍繞的軸線方向在加工過程中是不會(huì)改變的；動(dòng)軸是指跟著加工工件一同擺動(dòng)的旋轉(zhuǎn)軸，其所圍繞的旋轉(zhuǎn)軸線方向跟著一個(gè)定軸的運(yùn)動(dòng)而旋轉(zhuǎn)。采用這種布置方式的機(jī)床承載性能最差，加工尺寸范圍最小，整個(gè)系統(tǒng)剛性處于中等水平，通常用于中小尺寸工件的切削加工[35]。
圖3-3雙回轉(zhuǎn)工作臺(tái)結(jié)構(gòu)五軸機(jī)床
綜上所述，無論五軸機(jī)床采用哪種布置方式，都同樣可以做到刀具對(duì)工件的任意角度切削。因?yàn)闄C(jī)床擁有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，刀具可以在機(jī)床結(jié)構(gòu)的限制下的任意空間角度對(duì)工件進(jìn)行切削。在相應(yīng)運(yùn)動(dòng)控制算法的支持下，能夠確保在整個(gè)切削過程中，刀具按照最佳的位姿來加工，而且可以防止機(jī)床發(fā)生運(yùn)動(dòng)干涉[36]。所以，五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床具備三軸、四軸機(jī)床所不具備的的優(yōu)越的性能，能完成分任務(wù)更多，同時(shí)精度會(huì)更高[37]。
重點(diǎn)研發(fā)五軸數(shù)控機(jī)床模擬訓(xùn)練機(jī)的意義在于：學(xué)習(xí)數(shù)控系統(tǒng)最好的方式是在實(shí)際機(jī)床上進(jìn)行練習(xí)，但是這樣需要大量的五軸數(shù)控機(jī)床，這對(duì)于學(xué)校來說是不現(xiàn)實(shí)的[38]。五軸數(shù)控機(jī)床模擬訓(xùn)練機(jī)是國內(nèi)首創(chuàng)能夠解決數(shù)控系統(tǒng)教學(xué)問題、數(shù)控編程人員學(xué)習(xí)問題的一個(gè)關(guān)鍵產(chǎn)品。
3.3 五軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)求解
3.3.1 雙轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)求解
雙回轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸數(shù)控機(jī)床按照旋轉(zhuǎn)軸的不同，能夠具體分為 AB、BC、AC 三種[39]。因?yàn)檫@三種不同選擇方式的運(yùn)動(dòng)變換計(jì)算過程沒有太大差別，所以在這里只探討了最常見的 AC 型組合方式的運(yùn)動(dòng)變換計(jì)算過程[40]。
傳統(tǒng)三軸數(shù)控機(jī)床只具備 X、Y、Z 三個(gè)直線方向的自由度[41]，所以沒有必要進(jìn)行其他的分析、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算，只需要將程序中的有關(guān)路徑控制方面的 G 代碼翻譯成 XY、Z 三個(gè)軸方向上的運(yùn)動(dòng)量，然后再進(jìn)行聯(lián)合插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)，最終就能夠驅(qū)動(dòng)三個(gè)運(yùn)動(dòng)軸切削工件。五軸數(shù)控機(jī)床除了擁有 X、Y、Z 三個(gè)軸之外還有另外兩個(gè)回轉(zhuǎn)軸[42]，使得刀具可以相對(duì)于工件做直線移動(dòng)和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，所以在刀路運(yùn)動(dòng)計(jì)算上，需要六個(gè)數(shù)據(jù)來表達(dá)某一瞬時(shí)的刀尖點(diǎn)位置及刀具軸線位姿：（X， y ， z ）表示加工刀尖點(diǎn)的位置，（ i ， j ， k ）表示加工刀具軸線的位姿[43]。
在五軸機(jī)床中，刀具在對(duì)工件進(jìn)行切削之前，需要嚴(yán)格采用五軸機(jī)床上的結(jié)構(gòu)形式對(duì)其整個(gè)運(yùn)動(dòng)、切削過程進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，找出工件坐標(biāo)系與機(jī)床坐標(biāo)系的聯(lián)系，推算出其中的轉(zhuǎn)換矩陣，充分利用這個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣[44]，能夠精確的轉(zhuǎn)換某一瞬時(shí)的刀尖點(diǎn)位置及刀具軸線位姿為 X、Y、Z 三個(gè)軸的移動(dòng)和 A 、C 兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，這一點(diǎn)是保證數(shù)控程序能夠正確被編譯的基礎(chǔ)。本節(jié)會(huì)針對(duì)此推導(dǎo)過程做詳細(xì)討論[45]。
如圖 3-4 所示，記工件原點(diǎn)坐標(biāo)系為m m m0X Y Z ，機(jī)床原點(diǎn)坐標(biāo)系為t t tO X Y Z ，以 A、C兩軸中心線交點(diǎn)作為機(jī)床坐標(biāo)原點(diǎn)[46]。工件原點(diǎn)坐標(biāo)系m m mO X Y Z 和機(jī)床原點(diǎn)坐標(biāo)系t t tO X Y Z 共享同一個(gè) Z 軸方向，m t0 O =d 。工作臺(tái)的回轉(zhuǎn)能夠帶動(dòng)毛坯進(jìn)行位姿變換，其中 A、C 兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍分別為 0°≤A≤90°、0°≤C≤3600°。
圖 3-4 坐標(biāo)系 圖3 - 5雙轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸數(shù)控機(jī)床坐標(biāo)系
為了方便以后的計(jì)算，需要定義一下計(jì)算過程中用到的坐標(biāo)系：令零件坐標(biāo)系為w w w wO X Y Z ，零件能夠在兩個(gè)回轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)中完成圍繞 X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角 A（ 0° ≤A ≤90° ），圍繞 Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角 C；機(jī)床的移動(dòng)坐標(biāo)系為r r r rO X Y Z 。同時(shí)，w rO O =d ，如圖 3-5 所示；當(dāng)前刀具的刀心點(diǎn)0C ，其在零件坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)假定為（0 0 0, ,C C CX Y Z ）；當(dāng)前刀具的軸線假定為α （單位矢量），其在零件坐標(biāo)系內(nèi)假定為( , ,)x y zα α α[48]。
在以上設(shè)定的基礎(chǔ)上，AC 型組合方式的運(yùn)動(dòng)變換計(jì)算過程具體如下：
（1）首先將刀具軸線α 移動(dòng)到經(jīng)過零件坐標(biāo)系的原點(diǎn)，之后令它圍繞 Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)到平面（-Y）（+Z）內(nèi)，最后把刀具軸線α 圍繞 X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)到和 Z 軸重合[49]。以上工作的出發(fā)點(diǎn)是要確保當(dāng) 0zα ≥ 時(shí)，令刀具軸線 α 圍繞 X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角處于 (90° 0°) 之間，也就是刀具相對(duì)于零件圍繞 X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角處于(0° 90°) 之間。
（2）將刀具軸線α 的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化成刀具的旋轉(zhuǎn)或移動(dòng)：首先讓刀具圍繞 X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度 A,再將刀具圍繞五軸機(jī)床德爾 Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度 C。所以能夠獲得 A 角的運(yùn)算過程如下：
（3）零件坐標(biāo)改變后，刀具的中心點(diǎn)0C 坐標(biāo)值也會(huì)發(fā)生變化，則機(jī)床坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)值 X、Y、Z 的運(yùn)算方法為：
1）對(duì)零件工件坐標(biāo)系w w w wO X Y Z 進(jìn)行移動(dòng)，使得兩個(gè)坐標(biāo)系的rO 和wO 重合，相應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣是：
2）使零件圍繞五軸數(shù)控機(jī)床的 Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度 C，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣是：
3）使零件圍繞五軸數(shù)控機(jī)床的 X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度 A，相應(yīng)轉(zhuǎn)換矩陣是：
則有：
將上式展開可得：
3.3.2 雙擺頭型五軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)求解
雙擺頭型五軸數(shù)控機(jī)床根據(jù)不同的旋轉(zhuǎn)軸，可以細(xì)分為三種方式[50]。因?yàn)檫@三種不同選擇方式的運(yùn)動(dòng)變換計(jì)算過程沒有太大差別，所以在這里只探討了最常見的 X，Y，Z，A，C 組合方式的運(yùn)動(dòng)變換計(jì)算過程[51]。
首先，初定零件坐標(biāo)系為w w w wO X Y Z ，假定讓刀具繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)一定角度 C，再讓刀具圍繞 X 軸旋轉(zhuǎn)一定角度 A(0 ≤A ≤90)；假定刀具的轉(zhuǎn)動(dòng)中心0hC 至刀心點(diǎn)0C 的空間上的直線距離是 L，如圖 3-6 所示。此時(shí)，刀心點(diǎn)0C 處在零件坐標(biāo)系內(nèi)的位置為0 0 0(, , )C C CX Y Z ，同時(shí)，刀具軸線α （單位矢量）在零件坐標(biāo)系內(nèi)可用( , , )x y zα α α 來表示。那么，機(jī)床坐標(biāo)系內(nèi)移動(dòng)變換可以表示為：
圖 3-6 雙擺頭型五軸數(shù)控機(jī)床坐標(biāo)系
A、C 角的計(jì)算過程和前一節(jié)里的計(jì)算過程并無差別，在這里就省略了。
刀具中心0hC 在刀具旋轉(zhuǎn)和移動(dòng)后位于零件坐標(biāo)系w w w wO X Y Z 內(nèi)的坐標(biāo)，就是機(jī)床坐標(biāo)系下 X，Y，Z 坐標(biāo)值，其計(jì)算過程為：
（1）如圖所示，刀具中心以刀心點(diǎn)0hC 為固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角0C ，圍繞 X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角 A，它的轉(zhuǎn)換矩陣是：
（2）刀具中心以刀心點(diǎn)0hC 為固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角0C ，圍繞 Y 軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角 C，它的轉(zhuǎn)換矩陣是：
（3）經(jīng)過以上轉(zhuǎn)換之后，刀具中心位于零件坐標(biāo)內(nèi)的位置能夠通過下面的方程來計(jì)算：
將上式展開得：
3.3.3 非正交五軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)求解
這種運(yùn)動(dòng)方式的求解與以上兩類運(yùn)動(dòng)變換相似，計(jì)算過程并沒有很大的差別，非正交結(jié)構(gòu)五軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)可以具體劃分為幾下三步進(jìn)行變換計(jì)算[52]：
（1）計(jì)算從零件坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至機(jī)床坐標(biāo)系的位置轉(zhuǎn)換矩陣。
（2）計(jì)算相對(duì)于起始點(diǎn)的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角。
（3）把零件坐標(biāo)系內(nèi)具體的刀位點(diǎn)位置變換成實(shí)際機(jī)床坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值[53]。因?yàn)楸疚木唧w討論的是雙轉(zhuǎn)臺(tái)正交構(gòu)造的五軸數(shù)控機(jī)床，并且非正交構(gòu)造五軸數(shù)控機(jī)床的移動(dòng)變換計(jì)算過程相對(duì)繁瑣，所以本文不討論。
3.4 本章小結(jié)
伴隨著電子計(jì)算機(jī)科技、數(shù)字控制算法的飛速進(jìn)步，切削加工工件復(fù)雜程度的增加等，五軸數(shù)控機(jī)床在構(gòu)造構(gòu)成以及數(shù)字控制算法上均表現(xiàn)出多樣化的發(fā)展態(tài)勢(shì)[54]。本章首先闡述了平移、旋轉(zhuǎn)等對(duì)機(jī)床進(jìn)行運(yùn)動(dòng)求解時(shí)必需的一些基本數(shù)學(xué)理論。接著從結(jié)構(gòu)形加工性能等角度，對(duì)雙轉(zhuǎn)臺(tái)型、雙擺頭型、擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型以及非正交型五軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，并詳細(xì)了研究了上述幾種常見類型機(jī)床的運(yùn)動(dòng)求解算法[55]。本章在描述了運(yùn)動(dòng)分析時(shí)所必須借助的基礎(chǔ)線性代數(shù)原理，分別例舉了采用三種非常普遍的構(gòu)成形式的五軸數(shù)控機(jī)床在一定的限制條件下的運(yùn)動(dòng)分析算法[56]。同時(shí)，為下一章的進(jìn)一步研究做了鋪墊，為模擬機(jī)訓(xùn)練系統(tǒng)操作模塊研究奠定了基礎(chǔ)。
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