５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床彈性動力學分析
2016-12-7 來源：燕山大學河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室 作者：周鑫 許允斗 姚建濤 鄭魁敬 趙永生
摘要:結(jié)合有限元法和子結(jié)構(gòu)法建立了５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的彈性動力學模型.首先,將系統(tǒng)劃分為不同的子結(jié)構(gòu),根據(jù)空間柔性梁理論求出單元動力學方程,根據(jù)關(guān)節(jié)特點將各個梁單元組裝成各個驅(qū)動分支;根據(jù)分支與動平臺的運動學/動力學約束,將各個分支進行裝配,從而得到系統(tǒng)動力學方程.以５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床作為算例,求出其動平臺中心的動態(tài)響應特性.通過比較５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床及５-UPS/PRPU 非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床動平臺的動態(tài)響應,可以得到結(jié)論:冗余驅(qū)動可以明顯改善該機床彈性動力學特性,從而減小因彈性變形引起的誤差.研究結(jié)果為結(jié)構(gòu)設(shè)計人員進行結(jié)構(gòu)設(shè)計及優(yōu)化提供可靠的依據(jù).
關(guān)鍵詞:并聯(lián)機床;冗余驅(qū)動;彈性動力學;動態(tài)特性比較
０.引言
并聯(lián)機器人具有剛度高、承載能力強以及模塊化程度高等特點,廣泛應用于航空航天、國防軍事等領(lǐng)域.然而,由于并聯(lián)機器人的工作空間小、容易產(chǎn)生奇異位型等缺點,在實際生產(chǎn)中往往通過引入冗余驅(qū)動的概念去解決這些問題.高速、輕型化是并聯(lián)機器人發(fā)展的主要趨勢.然而,當輕型化的機器人在重載且高速的環(huán)境下工作時,往往會由于各個分支的彈性變形影響其運動及動力學性能,從而降低機器人的精度.因此,有必要對并聯(lián)機器人進行彈性動力學分析,并通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化提高其動力學特性.Liu 等[４]通過考慮連桿的變形,分析了并聯(lián)機構(gòu)的動力學特性.
胡俊峰等提出了一種簡單而精確的彈性動力學建模方法,并通過實例進行了驗證.文獻分別針對不同的機構(gòu)建立了彈性動力學模型,并且進行了相應的動力學分析.陳修龍等[１０]基于機構(gòu)的彈性動力學模型提出了一種優(yōu)化方法.CammaraＧta 等提出了一種約束優(yōu)化方法,該方法改善了３T１R 并聯(lián)機器人的彈性動力學性能;Alberto等采用一種新的重力補償方法,分析了四桿機構(gòu)的彈性動力學特性;Zhang 等以３-PRS 為例,通過建立其彈性動力學模型提出了一種能夠分析其關(guān)節(jié)約束反力的方法.文獻分別從結(jié)構(gòu)、理論方法以及控制的角度對３-PRR 柔性并聯(lián)機器人進行了深入的分析.綜上所述,現(xiàn)有文獻大多針對非冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)進行彈性動力學分析,而對于冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的分析并不多.Zhao等比較了６-PSS 與８-PSS冗余驅(qū)動并聯(lián)平臺的彈性動力學特性.除此之外,鮮有文獻對冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的彈性動力學進行研究,對于通過將主動副代替被動副從而實現(xiàn)驅(qū)動冗余機構(gòu)的相關(guān)研究更是鮮有報道.
本文對５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的彈性動力學性能進行了分析.首先通過結(jié)合子結(jié)構(gòu)法和有限單元法,建立了空間單元的彈性動力學模型;然后根據(jù)各個關(guān)節(jié)的運動特性,將單元動力學模型進行組裝,并根據(jù)機構(gòu)的運動學/動力學約束,得到系統(tǒng)總體的彈性動力學模型;最后以相應的５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床為算例,通過與相應的５-UPS/PRPU 非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床動平臺中心的彈性位移進行比較,證明冗余驅(qū)動對機床性能的改善.
１.動力學建模
５-UPS/PRPU 五自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機床如圖１ 所示,它由定平臺、動平臺以及６ 條驅(qū)動分支等組成.機床的加工運動可以通過５ 條結(jié)構(gòu)相同的UPS 驅(qū)動分支及PRPU 分支(冗余分支)的移動副共同實現(xiàn).各個移動副的運動主要通過滾珠絲杠/螺母實現(xiàn).此外,沿動平臺中心的法線方向的轉(zhuǎn)動被PRPU 分支所約束,因此,PRPU 分支也可以稱為約束分支.R、U、S、P 分別代表轉(zhuǎn)動副、虎克鉸、球副以及移動副.由于機床動平臺能夠?qū)崿F(xiàn)運動的自由度數(shù)目是５,而驅(qū)動數(shù)目為６,故機床表示為５-UPS/PRPU 五自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機床.
圖１ ５-UPS/PRPU 機床模型結(jié)構(gòu)圖
機床結(jié)構(gòu)簡圖如圖２ 所示.對于該冗余驅(qū)動五自由度并聯(lián)機床,由于機床動平臺以及定平臺剛度很大,故忽略其彈性變形,在此假設(shè)其為剛形體;由于滑塊剛度很大,同樣將其考慮成剛體,忽略其彈性變形.因此,在本文分析過程中考慮５個UPS 驅(qū)動分支的彈性變形;另外,將PRPU 分支的RPU 分支部分視為彈性體.
圖２ ５-UPS/PRPU 機床結(jié)構(gòu)簡圖
１ ．１ 單元動力學方程
根據(jù)機床分支實際結(jié)構(gòu),將空間柔性梁單元模型等效為圓柱形截面,如圖３ 所示.該空間兩
圖３ 空間柔性梁單元模型
１ ．２ 分支及動平臺的動力學方程
首先分別將UPS 分支以及PRPU 分支等效為懸臂梁.對于PRPU 分支,則將R ０ 點考慮為固定端,故其彈性位移及轉(zhuǎn)角均為０;對于P ０ 點,由于該點(移動副)鏈接的兩個單元分屬不同的構(gòu)件,故應當設(shè)置不同的彈性位移;對于U ０ 處(虎克鉸)可以等效成兩個匯交不共面的轉(zhuǎn)動副,所以,U ０ 處對應的兩個曲率也為０.對于UPS 分支,同樣將U i (i ＝ １,２,......,５)點考慮為懸臂梁的固定端,那么其彈性位移及轉(zhuǎn)角均為零;由于P i 點連接兩個不同的構(gòu)件,故也設(shè)置不同的彈性位移;對應S i 處為球鉸,因此,沿三個方向的曲率也為零.各個分支的系統(tǒng)坐標系設(shè)置如圖４ 所示.
圖４ 分支在參考坐標系下的廣義坐標
其中,M i 、K i 、F i 分別為分支的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及分支所受的外載荷向量.U 表示由各個分支在參考坐標系中的坐標所組成的向量.
１ ．３ 動平臺動力學方程
根據(jù)前文的假設(shè),由于動平臺的剛度很大,故考慮成剛體,則動平臺與各個驅(qū)動分支連接結(jié)點不是獨立的.因此,假設(shè)動平臺與各個驅(qū)動分支連接結(jié)點一致,且各驅(qū)動分支對動平臺的力與作用在動平臺的外力相平衡,由此可以分別得到系統(tǒng)的運動學約束方程及其動力學方程.根據(jù)對動平臺的動力學分析作為系統(tǒng)的動力學約束,有
１ ．４ 系統(tǒng)動力學方程的裝配
將分支系統(tǒng)中的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣分解成以下形式:
通過將各個分支動力學方程(式(８))與動平臺動力學方程(式(９))結(jié)合,再結(jié)合文獻-中的運動約束方程即可得到５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床整體彈性動力學方程:
構(gòu)造冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的方法有三種:① 將被動運動副替換為主動運動副,即關(guān)節(jié)式的冗余驅(qū)動;② 支鏈式的冗余驅(qū)動,即通過添加一條或多條驅(qū)動支鏈從而使機構(gòu)的實際驅(qū)動鏈數(shù)目超過其運動所需的支鏈數(shù)目;③ 以上兩種方法的綜合.５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床屬于第一種類型,即通過添加冗余電機從而構(gòu)造出冗余驅(qū)動.值得注意的是,冗余電機的添加,使得整個系統(tǒng)具有６ 個驅(qū)動輸入.理論上而言,機床的任意位姿都對應著無窮多組解.因此,在確定各個分支的驅(qū)動力時,允許根據(jù)不同的優(yōu)化目標通過采用不同的優(yōu)化算法優(yōu)化機床分支的驅(qū)動力.考慮到實際的加工問題,本文采用文獻中的優(yōu)化方法,根據(jù)達朗伯原理求解冗余分支的驅(qū)動力,從而以使冗余分支的大滑塊能夠更好地跟隨動平臺運動為優(yōu)化目標.另外,對于非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的驅(qū)動力,則可根據(jù)拉格朗日方程直接求出.機床剛體動力學的部分不再贅述.
２.動態(tài)響應分析
２．１ 機床動態(tài)響應特性分析
為了分析系統(tǒng)的動態(tài)響應特性,令５-UPS/PRPU 五自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的動平臺中心的運動軌跡為
表１ 機床基本結(jié)構(gòu)參數(shù)
表２ UPS 分支基本結(jié)構(gòu)參數(shù)
表３ PRPU 分支基本結(jié)構(gòu)參數(shù)
動平臺的質(zhì)量為４５ kg, 密度為７８００kg/m３ ,剪切彈性模量為７９ GPa,拉壓彈性模量為２１０ GPa.為了比較機床在冗余驅(qū)動與非冗余驅(qū)動的動態(tài)響應特性,分別計算了５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床與其相應的５-UPS/PRPU 非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床動平臺中心的彈性位移以及對應的剛性位移.如圖５~圖１０ 所示,實線部分表示冗余驅(qū)動并聯(lián)機床動平臺中心的彈性位移,虛線部分表示非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床動平臺中心的彈性位移.
圖５ 沿x 軸方向的線位移
圖６ 沿y 軸方向的線位移
圖７ 沿z 軸方向的線位移
圖８ 沿x 軸方向的角位移
比較分析圖５ ~圖１０ 可知冗余驅(qū)動對機床整體動態(tài)響應的影響情況.對于冗余驅(qū)動并聯(lián)機床,由分支變形引起平臺中心在x 、y 、z 方向的線/角位移的最大誤差值分別為－０．０１８９ mm、０.０２１９ mm、０．１００８ mm;－ ０．１５０７°、０．１３６１°、
圖９ 沿y 軸方向的角位移
圖１０ 沿z 軸方向的角位移
０.００６４°.而對于非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床,各個方向的最大誤差值分別為－０．０２１ mm、０．０２３６ mm、０．１１１４ mm;－０．１５８１°、０．１４０３°、０．００６８°.由此可見,無論是對于冗余驅(qū)動還是非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床,最大移動誤差均沿z 方向,轉(zhuǎn)動方向的最大誤差值均沿x 方向.除此之外,可以看出該冗余驅(qū)動并聯(lián)機床在x 、y 、z 三個方向的移動誤差及x 、y 方向的轉(zhuǎn)動誤差均小于其非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床,且最大移動誤差減小了０．０１０６ mm,最大轉(zhuǎn)動誤差減小了０．０４２°.因而可以得出冗余驅(qū)動可以改善機床的動態(tài)響應特性的結(jié)論.
需要說明的是,由于各個方向的實際位移均以某一數(shù)值為中心往復波動,說明其動平臺中心點由于各個驅(qū)動分支變形所引起的彈性位移是以某一點為中心的彈性振動.
２．２ 仿真驗證
該冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的固有頻率由下式得到:
通過觀察式(１３)不難發(fā)現(xiàn),該機床的整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均與機床的位姿相關(guān),因此,計算了機床在不同位姿下的固有頻率,并通過有限元軟件中的模態(tài)分析進行驗證.圖１１ 所示為機床在初始位姿時各階固有頻率在有限元仿真軟件
圖１ １ 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床各階固有頻率仿真結(jié)果
中的計算結(jié)果,比較分析可知,本文理論模型所得結(jié)果與有限元仿真結(jié)果的變化趨勢一致,可以在一定程度上證明本文模型的有效性.
３.結(jié)論
(１)本文結(jié)合有限單元法與子結(jié)構(gòu)法推導了５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的彈性動力學模型.
(２)比較了５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動并聯(lián)機床與其非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的動態(tài)響應特性.
(３)冗余驅(qū)動可以在一定程度上改善冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的動態(tài)響應特性.此外,可以采用本文的方法對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化;通過理論分析找到機床誤差最小的位置,從而進行軌跡規(guī)劃,提高機床加工精度.
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