面向曲線加工的精確加減速控制
2015-11-25 來源：數(shù)控機(jī)床市場網(wǎng) 作者：華南理工大學(xué)焦青松李迪王世勇
摘要: 數(shù)控系統(tǒng)加工曲線軌跡的實(shí)質(zhì)是以連續(xù)的直線段逼近曲線軌跡，所以加工軌跡的實(shí)際長度不等于曲線軌跡的理論長度。針對此問題，提出了一種利用二分法的基本思想求解加工軌跡的實(shí)際長度，從而實(shí)現(xiàn)精確加減速控制的算法。仿真結(jié)果表明: 采用所提算法能夠?qū)崿F(xiàn)插補(bǔ)終點(diǎn)與曲線軌跡終點(diǎn)重合，并且能夠?qū)崿F(xiàn)理論加減速曲線與實(shí)際加減速曲線一致，從而有利于保證加工質(zhì)量和機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能。
關(guān)鍵詞: 加減速控制; 曲線加工; 二分法
為了實(shí)現(xiàn)高效、高性能的運(yùn)動(dòng)控制，數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行的兩項(xiàng)主要的工作是加減速處理與插補(bǔ)計(jì)算。加減速處理需要綜合考慮機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)性能以及待加工的軌跡信息。例如梯形加減速算法可以表示為 
式中: 
分別為初速度、末速度和加工速度; A和 D 分別為加速度和減速度; L 為軌跡長度。梯形加減速算法生成的速度曲線包括加速段、勻速段和減速段等三段，各段所占用的加工時(shí)間分別為
分別為初速度、末速度和加工速度; A和 D 分別為加速度和減速度; L 為軌跡長度。梯形加減速算法生成的速度曲線包括加速段、勻速段和減速段等三段，各段所占用的加工時(shí)間分別為 
用于加減速算法的軌跡長度應(yīng)該是加工軌跡的實(shí)際長度。由于數(shù)控插補(bǔ)實(shí)質(zhì)上是用連續(xù)的小線段逼近曲線軌跡，因而加工軌跡的實(shí)際長度不等于曲線軌跡的理論長度。例如加工圓弧時(shí)，插補(bǔ)軌跡長度小于圓弧的實(shí)際長度(如圖 1 所示)。
由于軌跡長度影響加工時(shí)間，如果將曲線軌跡的理論長度用于加減速處理，那么所得的加減速曲線必定不能反映實(shí)際的速度變化，從而顯著降低加減速處理的效果。為了提高加工精度，傳統(tǒng)的方法是增加曲線軌跡終點(diǎn)判別，但此種方法會造成速度突變，引起機(jī)械震動(dòng)，最終影響加工質(zhì)量。為此，采用二分法的基本思想計(jì)算加工軌跡長度，并且使用加工軌跡長度代替曲線軌跡的理論長度，用于加減速處理，以保證加減速算法生成的速度曲線與真實(shí)的速度曲線一致，實(shí)現(xiàn)曲線加工精確的加減速處理。
1 基于二分法的加減速長度計(jì)算方法
1. 1 處理流程概述
如圖 2 所示，應(yīng)用二分法的基本原理求取加工軌跡長度。
圖 2 基于二分法的加減速長度計(jì)算算法流程圖
首先需要確定初始長度區(qū)間，然后利用區(qū)間中值進(jìn)行加減速處理。并且根據(jù)加減速生成的速度曲線和軌跡類型進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算。區(qū)間長度為零表明最終找到理想加減速長度;插補(bǔ)終點(diǎn)與軌跡終點(diǎn)重合，表明提前找到理想加減速長度，在這兩種情況下均可結(jié)束循環(huán)過程。如果區(qū)間長度不為零，并且插補(bǔ)終點(diǎn)不與軌跡終點(diǎn)重合，則調(diào)整區(qū)間大小，然后重復(fù)上述流程。
1. 2 確定初始長度區(qū)間
必須確保加工軌跡長度包含在初始區(qū)間［a1，b1］內(nèi)，即
式中 Lx為加工軌跡長度。
由于 Lx是個(gè)待求量，所以其大小事先末知，但是可以確定一個(gè)包含 Lx的取值范圍，即
式中 Lr表示曲線軌跡的理論長度。
綜合式(1)和式(2)可以確定 a1與 b1的合法取值范圍 
雖然取 b1=Lr，可以縮短區(qū)間長度，減少求解次數(shù)。但是當(dāng)曲線的理論長度難以計(jì)算或這樣的計(jì)算需要消耗大量的系統(tǒng)資源或者需要占用較長的時(shí)間時(shí)，b1取一個(gè)明顯大于 Lr值也是合理的。例如橢圓插補(bǔ)時(shí)，b1可取實(shí)際的橢圓弧長(通過數(shù)值方法計(jì)算得到)或取整個(gè)橢圓的長度(2πab)。后面將說明，區(qū)間長度增大一倍時(shí)，計(jì)算次數(shù)只增加一次，所以取一個(gè)易于計(jì)算的并且大于 Lr的值將顯著的減小計(jì)算時(shí)間與資源消耗。
1. 3 調(diào)整長度區(qū)間
當(dāng)插補(bǔ)終點(diǎn)與軌跡終點(diǎn)不重合，需要重復(fù)圖 2 所示流程。在新的循環(huán)開始之前需要調(diào)整區(qū)間大小。邊界值的調(diào)整分兩種情況，當(dāng)插補(bǔ)終點(diǎn)小于軌跡終點(diǎn)時(shí)，調(diào)整下邊界值，即
式中 Li表示當(dāng)前插補(bǔ)計(jì)算長度。
當(dāng)插補(bǔ)終點(diǎn)大于軌跡終點(diǎn)時(shí)，調(diào)整上邊界值，即 
在新一輪插補(bǔ)計(jì)算之前，增大區(qū)間下界或減小區(qū)間上界，均使得區(qū)間長度變小，從而逐步逼近待求的加工軌跡長度。
1. 4 收斂速度與近似處理分析
每次循環(huán)，根據(jù)長度區(qū)間大小計(jì)算加減速長度，即 
結(jié)合式(4)、式(5)與式(6)可知，每次循環(huán)后，區(qū)間長度減小為原來的一半，即第 i 次插補(bǔ)計(jì)算后的區(qū)間長度與初始區(qū)間長度以及插補(bǔ)計(jì)算次數(shù)之間關(guān)系為 
所以該算法是確定收斂的，而且是線性收斂的。當(dāng)長度區(qū)間等于零，即上、下邊界相等時(shí)，即可確定加工軌跡長度，即 
為了減小插補(bǔ)計(jì)算次數(shù)，可以根據(jù)精度要求設(shè)定一個(gè)允許誤差值，當(dāng)插補(bǔ)計(jì)算區(qū)間小于該值時(shí)，即認(rèn)為取得加工軌跡長度。即當(dāng)i－bi＜ε 時(shí)取 Lr=(ai+bi) /2 作為加工軌跡長度。同理，可以設(shè)定一個(gè)插補(bǔ)計(jì)算終點(diǎn)與軌跡終點(diǎn)重合的允許誤差值，當(dāng)兩者之差小于該值時(shí)，提前結(jié)束循環(huán)，此時(shí)的 Li即為加工軌跡長度。
2 仿真與討論
為了驗(yàn)證所提算法的有效性，在 Matlab 軟件中實(shí)現(xiàn)上述算法。仿真采用梯形加減速方法加工圖 3所示的逆時(shí)針圓弧，圓弧半徑 Ｒ=50 mm，起點(diǎn)坐標(biāo)Ps(50，0)，終點(diǎn)坐標(biāo) Pe( －50，0)。運(yùn)動(dòng)參數(shù)如下:起點(diǎn)速度 Vs= 0，終點(diǎn)速度 Ve= 0，加速段的最大加速度 A= 1 000 mm/s2，減速段的最大加速度D= 1 000 mm/s2，脈沖周期 Ts= 10 ms。
1) 采用圓弧的理論長度 πＲ=157. 079 6 mm 進(jìn)行加減速處理，在插補(bǔ)速度 F = 300 mm/s 的條件下，所得的軌跡如圖 4 所示。從圖 4 中可以看出，插補(bǔ)軌跡超出了理論軌跡，存在明顯的加工誤差，加工軌跡終點(diǎn)坐標(biāo)為(－49. 995，－0. 020 4)。而且加工誤差隨著速度的增大而增大，如圖 5 所示。
2) 采用曲線軌跡終點(diǎn)判別的方法，用圓弧的理論長度πＲ= 157. 079 6 mm 進(jìn)行加減速處理，并且將超出的部分截?cái)唷＿@樣雖然在理論上可以保證終點(diǎn)處的精度，但是由于會造成速度曲線的突變，使機(jī)床產(chǎn)生振動(dòng)，所以會影響實(shí)際的加工精度。
3) 在插補(bǔ)速度 F=300 mm/s 的條件下，采用二分法計(jì)算出加工軌跡長度為 157. 059 2 mm(允許誤為 1 μm)，利用該軌跡長度進(jìn)行加減速處理和插補(bǔ)計(jì)算所得的軌跡如圖 6 所示。從圖 6 中可以看出:加工軌跡的終點(diǎn)與圓弧的理論終點(diǎn)重合。而且加工誤差由算法本身控制，不受加工速度的影響。
對比方法(1)、(2)和方法(3)可知，所提算法可以保證各種速度下的插補(bǔ)精度，而且不會對速度曲線造成不良影響，所以能夠保證曲線加工質(zhì)量。
3 結(jié)束語
加工曲線軌跡時(shí)，通常將軌跡的理論長度用于加減速處理，這種處理方法存在兩個(gè)問題:
1) 有些曲線軌跡(例如樣條曲線)的理論長度不易計(jì)算;
2) 加工軌跡的實(shí)際長度與曲線軌跡的理論長度并不相等。
所提的算法不需要計(jì)算曲線軌跡的理論長度，而是采用二分法的基本思想直接求解加工軌跡長度。將加工軌跡長度代替曲線軌跡的理論長度進(jìn)行加減速處理，可以保證加減速算法生成的速度曲線與真實(shí)的速度曲線一致，從而保證加工精度和機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能。
由于二分法收斂速度快，效率高，占用的處理時(shí)間少，而且只需要在預(yù)處理階段進(jìn)行一次，不占用插補(bǔ)時(shí)間。此外，所提的算法與具體加減速算法、插補(bǔ)算法及軌跡類型無關(guān)，可以與現(xiàn)有的曲線插補(bǔ)技術(shù)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)精確的曲線加工。
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