機床無刷直流電機系統(tǒng)的分岔分析與控制*
2016-9-6 來源：東北電力大學(xué)理學(xué)院 作者：張中華 付景超 鄧冠男
摘要：文章主要研究了機床無刷直流電機系統(tǒng)的Hopf 分岔控制問題． 首先，對系統(tǒng)進行分岔分析，通過計算極限環(huán)曲率系數(shù)判定系統(tǒng)的Hopf 分岔類型; 然后設(shè)計Washout 濾波器對系統(tǒng)進行分岔控制，根據(jù)Hopf 分岔理論給出使原系統(tǒng)Hopf 分岔位置發(fā)生改變的參數(shù)條件，利用Normal Form 方法計算出受控系統(tǒng)的Hopf 分岔正規(guī)型，根據(jù)正規(guī)型的實部大小判定Hopf 分岔類型，給出使原系統(tǒng)Hopf 分岔類型發(fā)生改變的參數(shù)條件; 并借助MATLAB 軟件對理論結(jié)果進行數(shù)值仿真，理論結(jié)果和數(shù)值仿真表明: 控制器中的線性增益能使系統(tǒng)在所期望的參數(shù)值處發(fā)生Hopf 分岔，甚至消除Hopf 分岔，控制器中的非線性增益能改變原系統(tǒng)的Hopf 分岔類型及極限環(huán)幅值的大小． 研究結(jié)果對無刷直流電動機系統(tǒng)的工程實際具有一定的指導(dǎo)意義．
關(guān)鍵詞：Hopf 分岔， 分岔控制， Washout 濾波器， 無刷直流電機
0、引言
無刷直流電動機系統(tǒng)是集永磁同步電機、位置檢測元件和驅(qū)動控制電路于一體的機電一體化產(chǎn)品，它既具備交流電動機結(jié)構(gòu)簡單、運行可靠、維護方便等一系列優(yōu)點，又具備直流電動機運行效率高、無勵磁損耗等優(yōu)點，在伺服和驅(qū)動系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用． 但在實際運行當(dāng)中，在一定的參數(shù)條件下，系統(tǒng)會出現(xiàn)分岔行為，進而導(dǎo)致混沌運動，表現(xiàn)為電流波形出現(xiàn)不規(guī)則的電流噪聲，電機轉(zhuǎn)速忽大忽小，隨機波動，電機運行性能不穩(wěn)定等． 這種混沌現(xiàn)象在機床，特別是在精密機床的傳動系統(tǒng)中是不允許出現(xiàn)的，因此對直流電機系統(tǒng)分岔、混沌及其控制方面的研究一直備受關(guān)注． 但到目前為止，大部分文獻主要集中研究非線性動力系統(tǒng)的分岔行為及混沌控制問題［1 － 2］． 文獻［3］建立了無刷直流電機的等效無量綱模型，分析了模型解的穩(wěn)定性情況． 文獻［4］在此基礎(chǔ)上進一步研究了無刷直流電機的Hopf 分岔行為和混沌現(xiàn)象，但沒有進行這方面的控制． 文獻［5 － 7］在文獻［3 － 4］的基礎(chǔ)上分別采用不同的方法對無刷直流電機的混沌現(xiàn)象進行控制，從而保證了電機運行性能的穩(wěn)定性． 但對系統(tǒng)的分岔控制沒有研究，分岔是導(dǎo)致混沌產(chǎn)生的一種途徑，對系統(tǒng)進行分岔控制有時可避免混沌的產(chǎn)生，進而減少混沌對系統(tǒng)造成的危害． 文獻［8 －10］利用這種方法對混沌系統(tǒng)進行了分岔控制．
基于上述原因，本文在文獻［4］和文獻［7］的基礎(chǔ)上，對無刷直流電機系統(tǒng)的等效非線性數(shù)學(xué)模型進行研究，首先討論系統(tǒng)的Hopf 分岔類型，然后設(shè)計washout 濾波器對系統(tǒng)的Hopf 分岔行為進行控制，進而控制混沌的產(chǎn)生，保證電機運行性能穩(wěn)定性． 主要利用Hopf 分岔理論及Normal Form 直接方法，給出原系統(tǒng)Hopf 分岔點提前、延遲或消失應(yīng)滿足的參數(shù)條件和原系統(tǒng)Hopf 分岔類型發(fā)生改變應(yīng)滿足的參數(shù)條件，并借助MATLAB 軟件對理論結(jié)果進行數(shù)值仿真，分別給出控制前、控制后的分岔圖以及分岔周期解振幅( 極限環(huán)幅值) 隨參數(shù)變化的曲線圖． 通過理論及仿真結(jié)果說明控制器的有效性．
1、系統(tǒng)分岔分析
在轉(zhuǎn)子磁場定向坐標系( d － q) 中，由電壓平衡方程和轉(zhuǎn)矩平衡方程可得無刷直流電機狀態(tài)方程為［2］
圖1 σ = 4，ρ = 10，系統(tǒng)( 2) 波形圖
圖2 σ = 4，ρ = 16 時，系統(tǒng)( 2) 分岔圖
2、系統(tǒng)Hopf 分岔控制
取σ = 4，用washout 濾波器控制的等效無刷直流電機受控系統(tǒng)如下
x1為washout 濾波器的輸入變量，c 為濾波器時間常數(shù)，c ＞ 0 時，為穩(wěn)定的washout 濾波器，c ＜ 0 時，為不穩(wěn)定的washout 濾波器，現(xiàn)取控制器
2． 1 線性控制部分對Hopf 分岔的影響
圖3 k1 = － 1，ρ = 16 時，系統(tǒng)( 8) 波形圖
圖4 k1 = － 0． 1，ρ = 18． 3368 時，系統(tǒng)( 8) 分岔圖
圖5 k1 = － 0． 1，ρ = 18． 3368 時，系統(tǒng)( 8) 波形圖
圖6 k1 = 0． 1 時，ρ = 13． 9238 時，系統(tǒng)( 8) 分岔圖
2． 2 非線性控制部分對Hopf 分岔的影響
當(dāng)取c = 1，k1 = － 0． 1 時，ρ = 18． 3368． 方程( 10) 中的線性和非線性部分分別為
圖7 當(dāng)ρ = 18． 3368，k1 = -0． 1，k2 = -1． 5 時，系統(tǒng)⑻極限環(huán)
根據(jù)Hopf 分岔理論知，當(dāng)Ｒe( C) ＜0，即k2 ＜ － 0． 347時，系統(tǒng)( 8) 在ρ =16 處發(fā)生超臨界Hopf 分岔，即原系統(tǒng)Hopf 分岔類型被改變，不穩(wěn)定極限環(huán)變?yōu)榉€(wěn)定極限環(huán)，如圖7 －8 所示． 取k1 = －0． 1，將λ 看成分岔參數(shù)ρ 的函數(shù)，方程( 11) 兩邊同時對ρ 求導(dǎo)，得
計算得
α'( 0) = Ｒe( λ'( ρ) ) | ρ = 18． 3368，λ = 4． 4768i =0． 0445 ＞0所以，當(dāng)Ｒe( C) ＜0 時，Hopf 分岔方向為ρ ＞16，如圖9 所示; 受控系統(tǒng)的極限環(huán)幅控關(guān)系如圖10 所示． 從圖7，圖8 及圖10 中可知，控制器的非線性部分能改變原系統(tǒng)的Hopf 分岔類型，并且分岔極限環(huán)幅值隨著非線性控制參數(shù)的增大而增大，成正比關(guān)系．
圖8 當(dāng)ρ = 18． 3368，k1 = -0． 1，k2 = -0． 1 時，系統(tǒng)⑻極限環(huán)
圖9 k1 = -0． 1，k2 = -0． 06 時，系統(tǒng)⑻分岔圖
圖10 系統(tǒng)⑻的限極環(huán)幅值曲線ρ = 18
3、結(jié)論
文章主要研究了機床無刷直流電機系統(tǒng)的Hopf 分岔控制問題． 首先，研究了系統(tǒng)的分岔行為并判定系統(tǒng)的Hopf 分岔類型; 然后設(shè)計Washout濾波器對系統(tǒng)進行分岔控制，討論了控制參數(shù)對Hopf 分岔點位置，分岔類型以及極限環(huán)幅值的影響; 并借助MATLAB 軟件對理論結(jié)果進行數(shù)值仿真，理論結(jié)果和數(shù)值仿真表明: 線性控制參數(shù)能使系統(tǒng)在所期望的參數(shù)值處發(fā)生Hopf 分岔，甚至消除Hopf 分岔，非線性控制參數(shù)能改變原系統(tǒng)的分岔類型，使不穩(wěn)定極限環(huán)變?yōu)榉€(wěn)定極限環(huán)，并能改變極限環(huán)幅值大小． 研究結(jié)果對無刷直流電動機系統(tǒng)的工程實際具有一定的指導(dǎo)意義．
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